Морские информационно-управляющие системы Май 2015, № 7 | Seite 23

m – количество деградированных каналов обслуживания;
Pi, j, m  – вероятность нахождения СМО в  состоянии Si, j,
m (t);
Pу – вероятность обслуживания заявки каналом обслуживания без ошибки (вероятность уничтожения цели
ЗУР);
Pд – вероятность деградации канала обслуживания (вероятность уничтожения одного ЗРК одним прорвавшимся СВН);
νab – интенсивности переходов СМО из  состояния «a»
в состояние «b» (где a, b = {0,1,..9});
«:= » – символ «присвоить значение».
Схема исследуемой трехканальной системы массового
обслуживания представлена на рисунке 1.
Это трехканальная СМО «с  отказами» на  вход которой,
начиная с  момента времени t=0  и  до  момента времени
t=T, поступает входящий поток однотипных заявок. Поток
заявок является стационарным пуассоновским (простейшим потоком), интенсивность которого λ известна. Вновь
поступившая заявка обслуживается (уничтожается) одним
каналом с известной вероятностью уничтожения Pу. Если поступившая на вход системы массово го обслуживания заявка
застала все каналы занятыми, получила отказ в обслуживании или не была уничтожена (то есть обслужена с ошибкой)
в процессе своего нахождения в СМО, то эта заявка нападает
на один из работоспособных каналов СМО и уничтожает его
с  некоторой известной вероятностью Pд. В  случае уничтожения канала система массового обслуживания частично
деградирует.
Деградация выражается в том, что количество каналов обслуживания уменьшается на  единицу. С  течением времени
деградация СМО может продолжаться, и по истечении определенного времени система может быть полностью деградирована (все каналы обслуживания будут уничтожены).
Очевидно, что для подобных систем массового обслуживания не имеет смысла определять показатели качества их
функционирования для стационарного (установившегося)
режима работы, так как такого режима просто не существует.
Перечень возможных состояний исследуемой СМО: S0,
S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, где:
S0:=S0,3,0;
S5:=S1,2,1;
S1:=S1,3,0;
S6:=S2,2,1;
S2:=S2,3,0;
S7:=S0,1,2;
S3:=S3,3,0;
S8:=S1,1,2;
S4:=S0,2,1;
S9:=S0,0,3.
Размеченный граф переходов СМО представлен на  рисунке 2. Используются следующие обозначения:
P0 – вероятность нахождения СМО в состоянии S0,3,0;
P1 – вероятность нахождения СМО в состоянии S1,3,0;
P2 – вероятность нахождения СМО в состоянии S2,3,0;
P3 – вероятность нахождения СМО в состоянии S3,3,0;

Канал
обслуживания

Входящий поток
заявок

Поток заявок,
обслуженных
с ошибкой

Канал
обслуживания
Поток заявок,
получивших отказ
в обслуживании

Канал
обслуживания

Рис. 1. Схема трехканальной системы массового обслуживания
λ01

λ12

S0

λ23

S1
λ10

S2
λ21

λ14

λ25

λ45

S3
λ32
λ36

λ56

S4

S5
λ54

S6
λ65

λ57

λ68

λ78
S7

S8

λ87
λ89

S9

Рис. 2. Размеченный граф переходов трехканальной
деградирующей системы массового обслуживания
P4 – вероятность нахождения СМО в состоянии S0,2,1;
P5 – вероятность нахождения СМО в состоянии S1,2,1;
P6 – вероятность нахождения СМО в состоянии S2,2,1;
P7 – вероятность нахождения СМО в состоянии S0,1,2;
P8 – вероятность нахождения СМО в состоянии S1,1,2;
P9 – вероятность нахождения СМО в состоянии S0,0,3.
В процессе аналитического вероятностного моделирования указанные вероятности определяются при решении
следующей системы обыкновенных дифференциальных
уравнений:
dP0 (t)/dt=–λ01P0 (t)+λ10P1 (t),
dP1 (t)/dt=λ01P0 (t)–(λ10+λ12+λ14)P1 (t) +λ21P2 (t),
dP2 (t)/dt=λ12P1 (t)–(λ21+λ23+λ25)P2 (t) +λ32P3 (t),
dP3 (t)/dt=λ23P2 (t)–(λ32+λ36)P3 (t),
dP4 (t)/dt=λ14P1 (t)–λ45P4 (t)+λ54P5 (t),
dP5 (t)/dt=λ25P2 (t)+λ45P4 (t)–(λ54+λ56+λ57)P5 (t)+λ65P6 (t),
dP6 (t)/dt=λ36P3 (t)+λ56P5 (t)–(λ65+λ68)P6 (t),
dP7 (t)/dt=λ57P5 (t)–λ78P7 (t)+λ87P8 (t),
dP8 (t)/dt=λ68P6 (t)+λ78P7 (t)–(λ87+λ89)P8 (t),
dP9 (t)/dt=λ89P8 (t).

No. 1 (7) / 2015, Морские информационно-управляющие системы

21