r = Ncosφ
(10)
В (10) r е радиусът на паралелния кръг, а N е напречен
радиус на кривина, който се изчислява по формулата:
N=
a
2
(11)
2
1 + e cos ϕ
където а е голямата полуос, а е - първи
екцентрицитет на елипсоида. В изчисленията са
взети геометричните параметри на глобалния
елипсоид GRS 80, а именно а = 6378137 м и b=
6356752 м. Първият и вторият ексцентрицитет на
елипсоида се изчисляват по съответните формули:
a 2 − b2
e2 =
a2
(12)
a 2 - b2
b2
e' =
(13)
За величините по-горе, които участват при мащаба
по меридиана (паралела) по формулата за Гаусови
координати са получени следните стойности за:
e’ = 0.082095044;
e2 = 0.006694478;
N = 6366494.341;
(14)
r = 4707944.726;
у = 381264.7932 м
След заместване на горните стойности във формула
(5) за мащаба по меридиана (паралела), изчислен по
Гаусови координати, се получава:
m = 1.001799784.
(15)
Получените стойности за мащаба по меридиана
по (8) и (15) имат еднакви стойности и се отнасят за
избраната възлова точка. Изходните формули са за
Гаус – Крюгерова проекция, при която мащабът по
централния меридиан е 1. За да се изчисли мащабът m
(n) на възловата точка при UTM проекция, получените
стойности се умножават с 0.9996, която стойност е
мащабът на централния меридиан. Тогава за мащабите
m и n на възловата точка в UTM проекция се получава:
m =n =1.001399064
(16)
Изчисляване на главните мащаби a и b:
Нагледна представа за различните деформации в
дадена точка от образната (картна) равнина може да
се добие като се построи елипсата на деформациите
(индикатриса на Тисо). Двете оси на елипсата показват
направленията, в които частните мащаби приемат
максимална стойност а, и минимална стойност
b в тази точка. Те се изчисляват по формулите:
1
2
(
1
=
b
2
(
=
a
6
m 2 + n 2 + 2p + m 2 + n 2 − 2p
2
2
2
2
m + n + 2p − m + n − 2p
)
)
(17)
В изчисленията площният мащаб съгласно (3) е
p = m n = m2.
За мащабите в полуосите на елипсата се получават
следните стойности:
a = 1.001399064;
b = 1.001399064.
От условието за конформност мащабите по
меридиана и паралела са равни помежду си. От
направените изчисления се доказва, че двата главни
мащаба, максималният и минималният мащаб, също са
равни помежду си, а също и на мащабите по меридиана
и паралела.
За числените стойности на показателите на
деформации можем да запише следното:
m = n = a = b = 1.001399064
p = 1.002800085
(18)
0
ω=
Линейният мащаб като функция на елипсоидния
азимут в произволна посока
Само от получените числени данни се подразбира,
че тази възлова точка, едно безкрайно малко кръгче от
оригиналната повърхнина на елипсоида при проектиране
върху равнина не се трансформира в елипса.
Теоретично това може да се провери при
изчисление на линейния мащаб в произволен
азимут, т.е посока различна от посоките (азимутите)
на меридиана и паралела, както и от главните
посоки. За тези изводи, като изходна формула ще
използваме формулата за линейния мащаб като
функция на елипсоидния азимут в произволна
посока, представена с показателите на деформации:
=
µ 2 m 2 cos 2 A − 2mn sin ε cos A sin A + n 2 sin 2 A . (19)
При конформната проекция m = n, ω = 0 , а
следователно и ε-0(θ=90°+ε), то формулата за линейния
мащаб се трансформира в следното опростено
равенство:
μ = m.
От това се вижда, че при азимут, взет в произволна
посока при конформната проекция, линейният мащаб
е равен на мащаба по меридиана и по паралела.
Следова