БҚМУ Хабаршы №1-2019ж.
Бұл теорема жоғары алгебра курсында мектеп курсына енбейтін
мәліметтерге сүйеніп дәлелденеді. Мысалы, кубты екі еселеу есебінің
аналитикалық шешімі х =2 теңдеуіне келеді. Оның түбірі √2 квадрат түбірі
арқылы өрнектелмейді. Олай болса, кубты екі еселеу есебі циркуль мен
сызғышты пайдаланып шешілмейді. Осы сияқты 2-және3-есептердің де циркуль
мен сызғышты пайдаланып шешілмейтіндігін көрсетуге болады. Дәлірек
айтқанда, 2-есеп sin3 = 3sin − 4 sin
формуласымен үшінші дәрежелі
рационал түбірі болмайтын теңдеуге келетін болса, 3-есептегі х= √ саны ешбір
рационал коэфицентті теңдеудің түбірі болмайды [2, 71-72 б.].
4-есептің шешімін 1796 жылы К.Гаусс төмендегі теореманың көмегімен
толық анықтады.
Гаусс теоремасы. Дұрыс n-бұрышты циркуль мен сызғышты пайдаланып
салу үшін n саны n=2
түрінде берілуі қажетті және жеткілікті. Мұнда
…
, , … , сандары -2 +1 түрінде берілетін жай сандар.
Бұл теореманы да дәлелдеусіз келтіреміз.
Егер k=0, m=0, s=1 болса, онда n=3
Егер k=1, m=0, s=1 болса, онда n=5
Егер k=2, m=0, s=1 болса, онда n=17
Сонда дұрыс 3, 5, 17-бұрыштарды циркуль мен сызғышты пайдаланып
салуға болады. Ал 7,9,11,13,14 сандарын теоремада көрсетілген түрде жазуға
болмайды. Олай болса, дұрыс 7,9,11,13,14-бұрышты көпбұрыштарды циркуль
мен сызғышты пайдаланып салуға болмайды.
Дұрыс көпбұрыштар. Егер дөңес көпбұрыштың барлық қабырғасы тең
болса, және барлық бұрыштары тең болса, оны дұрыс көпбұрыш деп атайды.
Мысалы, дұрыс үшбұры-тең қабырғалы үшбұрш, ал дұрыс төртбұрыш-квадрат.
Кез келген дұрыс үшбұрышқа және квадратқа іштей және сырттай
шеңберлер сызуға болатынын және бұл шеңберлердің центрлері беттесетіні
жақсы білеміз. Енді осы қасиеттер кез келегн дұрыс ып табылады.қашықтықта
оналасқан нүктені осы көпбұрыштың центрі деп аталады [3, 123-124 б.].
Теорема. Кез келген дұрыс көпбұрышқа іштей жне сырттай шеңберлер
сызуға болады және бұл шеңберлердің центрлер көпбұрыштың центрімен
беттеседі.
Дәлеледеу: Теореманы дәлелдеу кез келген дұрыс көпбұрыштың центрі бар
болатынын жәнебұл центрдің көпбұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта
орналасатынын көрсетсек, болғаны.
Айталық, бізге А 1 А 2 ...А n дұрыс n-бұышы берілсін. Оның А 1 және А 2
бұрыштарының биссектрисаларын жүргізіп, олардың қиылысу нүктесін О
арқылы белгілейік. Көпбұрыштың қалған төбелерін О нүктесімен қосайық (1
сурет).
Алдымен О нүктесі көпбұрыштың барлық төбелерінен бірей қашықтықта
орналасатындығын дәлелдейік:
ОА 1 =OA 2 =OA 3 =…=OA n .Тең бұрыштардың жартысы ретінде 1= 2. Онда
△А 1 ОА 2 тең бүйірлі. Сондықтан ОА 1 =OA 2 . OA 2 екеуіне ортақ, А 1 А 2 =A 2 A 3 және
2= 3 болғандықтан, үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша
△А 1 ОА 2 =△A 2 OA 3 . Осыдан ОА 2 =ОА 3 және 3= 4 теңдіктер шығады. Енді
4= 3= A 2 = A 3 теңдігінен 4= 5 теңдігін аламыз.
Олай болса, ОА 3 -А 3 бұрышының биссектрисасы болып табылады.
Осы процесті жалғастыра отырып, ОА 1 =ОА 2 = OA 3 =…=OA n теңдіктерін
аламыз. Яғни О көпбұрыштың центрі және сонымен бірге сырттай сызылған
шеңбердің центрі болып табылады.
123