2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Si u = (u1 , u2 ) y w = (w1 , w2 ) son vectores en R2 , entonces
≺ u, w ≻= u1 w1 + u2 w2 .
Obsevación 2.7 Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y w = (w1 , w2 , w3 ) dos vectores diferentes de
cero. Consideremos θ (0 ≤ θ ≤ π) el ángulo entre u y w como se muestra en la figura
2.21. Entonces por la ley de los cosenos se obtiene que
kw − uk2 = kuk2 + kwk2 − 2kukkwkcos(θ).
z
b
kw − uk
u
b
θ
w
y
x
Figura 2.21:
Ángulo entre dos vectores
Como,
kw − uk2 = (w1 − u1 )2 + (w2 − u2 )2 + (w3 − u3 )2
= w12 − 2w1 u1 + u21 + w22 − 2w2 u2 + u22 + w32 − 2w3 u3 + u23 ,
kuk2 = u21 + u22 + u23 y kwk2 = w12 + w22 + w32 .
Entonces kw − uk2 − kuk2 − kwk2 = −2w1 u1 − 2w2 u2 − 2w3 u3 .
Luego,
cos(θ) =
≺ u, w ≻
u1 w1 + u2 w2 + u3 w3
=
.
kukkwk
kukkwk
Por otro lado, si u = (u1 , u2 ) y w = (w1 , w2 ) son vectores de R2 entonces
≺ u, w ≻= u1 w1 + u2 w2 .
Además, si los vectores son no nulos, se tiene que
cos(θ) =
≺ u, w ≻
u1 w1 + u2 w2
=
.
kukkwk
kukkwk