2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Caso (II). Supongamos que u = (u1 , u2 , u3 ) es un vector de R3 . Entonces,
kα · uk = kα · (u1 , u2 , u3 )k
= k(αu1 , αu2 , αu3 )k
p
=
(αu1 )2 + (αu2 )2 + (αu3 )2
p
=
α2 u21 + α2 u22 + α2 u23
p
= |α| u21 + u22 + u23
(por la definición 2.4(3))
(por la definición 2.5)
(por propiedades de R)
(por propiedades de R)
= |α|kuk.
Así, kα · uk = |α|kuk.
Obsevación 2.5 Si kuk = 1, entonces u se llama un vector unitario.
!
√
1 2 1
,
un vector de R3 . Determinar si w es un vector
Ejemplo 2.9 Sea w = − ,
2 2 2
unitario.
Solución. Por el ejemplo 2.8(b), se tiene que kwk = 1. Por lo tanto, w en un vector
unitario.
Ejemplo 2.10 Sea w = (−1, 0, 0) un vector de R3 . Determinar si w es un vector
unitario.
p
Solución. Como kwk = (−1)2 + 02 + 02 = 1. Por lo tanto, w en un vector unitario.
Definición 2.6 Sean P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 . Se define la distancia
−−−→
entre P1 y P2 , denotado por d(P1 , P2 ), como la norma del vector P1 P2 . Es decir,
p
−−−→
d(P1 , P2 ) = kP1 P2 k = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Obsevación 2.6 Sean P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 , la distancia entre P1 y
P2 , puede considerase como la norma de P2 − P1 (figura 2.15). Es decir,
p
kP2 − P1 k = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .