2.1. Vectores en R2 y R3
83
!
√
1 2 1
un vector de R3 . Determinar la norma euclidiana de w.
,
− ,
2 2 2
b) Sea w =
Solución. Por la definición 2.5. Se tiene que,
v
u 2
u
1
kwk = t −
+
2
r
1 2 1
+ +
=
4 4 4
√ !2 2
2
1
+
2
2
= 1.
Así, kwk =
1.
c) Sea v =
3
− , 1 un vector de R2 . Determinar la norma de v.
4
Solución. Por la definición 2.5. Se tiene que,
s
3 2
−
+ (1)2
kvk =
4
=
5
.
4
5
Por lo tanto, kvk = .
4
Teorema 2.3 Sean u un vector en R2 o R3 y α ∈ R. Entonces,
kα · uk = |α|kuk.
Prueba.
Caso (I). Supongamos que u = (u1 , u2 ) es un vector de R2 . Entonces,
kα · uk = kα · (u1 , u2 )k
= k(αu1 , αu2 )k
p
=
(αu1 )2 + (αu2 )2
p
=
α2 u21 + α2 u22
p
= |α| u21 + u22
= |α|kuk.
Por lo tanto, kα · uk = |α|kuk.
(por la definición 2.3)
(por la definición 2.5)
(por propiedades de R)
(por propiedades de R)