Álgebra Lineal | Page 88

2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·

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7. Sean α, β ∈ R y x = (x1 , x2 , x3 ) un vector de R3 . Queremos probar que α(β · x) =
(αβ) · x.

Como x es un vectores de R2 . Se tiene que,
α(β · x) = α(β · (x1 , x2 , x3 ))

(por hipótesis )

= α(βx1 , βx2 , βx3 )

(por la definición 2.4(3))

= (α(βx1 ), α(βx2 ), α(βx3 ))

(por la definición 2.4(3))

= ((αβ)x1 ), (αβ)x2 ), (αβ)x3 )) (por propiedades de R)
= (αβ) · (x1 , x2 , x3 ))

(por la definición 2.4(3))

= (αβ) · x.
Por lo tanto,
α(β · x) = (αβ) · x.

9. Sean α, β ∈ R y x = (x1 , x2 , x3 ) un vector de R3 . Queremos probar que (α + β) · x =
α · x + β · x.
Como x es un vectores de R3 . Se tiene que,
(α + β) · x = (α + β) · (x1 , x2 , x3 )
= ((α + β)x1 , (α + β)x2 , (α + β)x3 )

(por hipótesis )
(por la definición 2.4(3))

= (αx1 + βx1 , αx2 + βx2 , αx3 + βx3 ) (por propiedades de R)
= (αx1 , αx2 , αx3 ) + (βx1 , βx2 , βx3 )

(por la definición 2.4(2))

= α · (x1 , x2 , x3 ) + β · (x1 , x2 , x3 )

(por la definición 2.4(3))

= α · x + β · x.
Por lo tanto,
(α + β) · x = α · x + β · x.
Definición 2.5 Sea x = (x1 , x2 ) un vector de R2 . Se define la norma euclidiana de
x, denotado por kxk, mediante (figura 2.13 (c)),
q
kxk = x21 + x22 .