Álgebra Lineal | Page 87

2.1. Vectores en R2 y R3

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Prueba.
Del teorema 2.2 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean x = (x1 , x2 , x3 ) y y = (y1 , y2 , y3 ) vectores de R3 . Queremos probar que x + y
es un vector de R3 .
Como x, y vectores de R3 . Se tiene que,
x + y = (x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 )

(por hipótesis )

= (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ). (por la definición 2.4(2))
Por lo tanto, x + y es un vector de R3 . Pues x1 + y1 , x2 + y2 y x3 + y3 son elementos
de R.
3. Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) y z = (z1 , z2 , z3 ) vectores de R3 . Queremos
probar que (x + y) + z = x + (y + z).
Como x, y y z son vectores de R3 . Se tiene que,
(x + y) + z = ((x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 )) + (z1 , z2 , z3 )
= (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) + (z1 , z2 , z3 )

(por hipótesis )
(definición 2.4(2))

= ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 , (x3 + y3 ) + z3 ) (definición 2.4(2))
= (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 ), x3 + (y3 + z3 )) (propiedades de R)
= (x1 , x2 , x3 ) + ((y1 + z1 ), (y2 + z2 ), (y3 + z3 ))

(definición 2.4(2))

= (x1 , x2 , x3 ) + ((y1 , y2 , y3 ) + (z1 , z2 , z3 ))

(definición 2.4(2))

= x + (y + z).
Así,
(x + y) + z = x + (y + z).
5. Sea x = (x1 , x2 , x3 ) un vector de R3 . Queremos probar que x − x = 0.
Como x es un vectores de R3 . Se tiene que,

x − x = (x1 , x2 , x3 ) − (x1 , x2 , x3 )

(por hipótesis )

= (x1 , x2 , x3 ) + (−x1 , −x2 , −x3 ) (por la definición 2.4(3))
= (x1 − x1 , x2 − x2 , x3 − x3 )

= (0, 0, 0)
= 0.
Entonces, x − x = 0.

(por la definición2.4(2))
(por propiedades de R)