2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Como x es un vectores de R2 . Se tiene que,
(α + β) · x = (α + β) · (x1 , x2 )
(por hipótesis )
= ((α + β)x1 , (α + β)x2 )
(por la definición 2.3)
= (αx1 + βx1 , αx2 + βx2 )
(por la propiedad distributiva de R)
= (αx1 , αx2 ) + (βx1 , βx2 )
(por la definición 2.3)
= α · (x1 , x2 ) + β · (x1 , x2 ) (por la definición 2.3)
= α · x + β · x.
Por lo tanto, (α + β) · x = α · x + β · x.
Así como los vectores en el plano se puede describir como parejas de números reales,
los vectores en R3 se pueden describir por ternas de números reales. Es decir, cada
vector p en R3 corresponde una terna de números (x1 , y1 , z1 ) denominados coordenadas
de p (figura 2.8).
z
z
z1
z1
(x1 , y1 , z1 )
(x1 , y1 , z1 )
b
b
p
x1
y1
y
x
x1
y1
y
x
Figura 2.8:
Interpretación gráfica del punto (x1 , y1 , z1 ) y el vector p
Definición 2.4 Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) vectores en R3 y α ∈ R. Se tiene
que,
1. x = y si, y sólo si, x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y3 ,
2. x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),
3. α · x = (αx1 , αx2 , αx3 ).
Obsevación 2.3 El vector cero de R3 , denotado por 0, se define como 0 = (0, 0, 0).
Además, si x = (x1 , x2 , x3 ) entonces el inverso aditivo de x denotado por −x, se
define por −x = (−x1 , −x2 , −x3 ). La diferencia de los vectores en R3 se define por,
x − y = x + (−y).