Álgebra Lineal | Page 81

2.1. Vectores en R2 y R3

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Como x, y y z son vectores de R2 . Se tiene que,
(x + y) + z = ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) + (z1 , z2 )
= (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 )

(por hipótesis )
(por la definición 2.2)

= ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) (por la definición 2.2)
= (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 )) (por propiedades en R)
= (x1 , x2 ) + ((y1 + z1 ), (y2 + z2 )) (por la definición 2.2)
= (x1 , x2 ) + ((y1 , y2 ) + (z1 , z2 ))

(por la definición 2.2)

= x + (y + z).
En conclusión, (x + y) + z = x + (y + z).
5. Sea x = (x1 , x2 ) un vector de R2 . Queremos probar que x − x = 0.
Como x es un vectores de R2 . Se tiene que,
x − x = (x1 , x2 ) − (x1 , x2 )

(por hipótesis )

= (x1 , x2 ) + (−x1 , −x2 ) (por la observación 2.2)
= (x1 − x1 , x2 − x2 )

(por la definición 2.2)

= (0, 0)

(por la definición del opuesto aditivo en R)

= 0.

(por la observación 2.1)

Así, x − x = 0.

7. Sean α, β ∈ R y x = (x1 , x2 ) un vector de R2 . Queremos probar que α(β·x) = (αβ)·x.
Como x es un vectores de R2 . Se tiene que,
α(β · x) = α(β · (x1 , x2 ))

(por hipótesis )

= α(βx1 , βx2 )

(por la definición 2.3)

= (α(βx1 ), α(βx2 ))

(por la definición 2.3)

= ((αβ)x1 ), (αβ)x2 )) (por la propiedad asociativa de R)
= (αβ) · (x1 , x2 ))

(por la definición 2.3)

= (αβ) · x.
Entonces, α(β · x) = (αβ) · x.

9. Sean α, β ∈ R y x = (x1 , x2 ) un vector de R2 . Queremos probar que (α + β) · x =
α · x + β · x.