2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Teorema 2.1 Sean x, y, z vectores en R2 y α, β ∈ R. Entonces,
1. x + y es un vector de R2 ,
2. x + y = y + x,
3. (x + y) + z = x + (y + z),
4. x + 0 = x,
5. x − x = 0,
6. α · x es un vector de R2 ,
7. α(β · x) = (αβ) · x,
8. α(x + y) = α · x + α · y,
9. (α + β) · x = α · x + β · x,
10. 1 · x = x.
Prueba.
Del teorema 2.1 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ) vectores de R2 .
Queremos probar que x + y es un vector de R2 .
Como x, y vectores de R2 . Se tiene que,
x + y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 )
(por hipótesis )
= (x1 + y1 , x2 + y2 ). (por la definición 2.2)
Por lo tanto, x + y es un vector de R2 .
Pues x1 + y1 y x2 + y2 son elementos de R.
3. Sean x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) y z = (z1 , z2 ) vectores de R2 .
Queremos probar que
(x + y) + z = x + (y + z).