Álgebra Lineal | Page 69
1.5. Matrices elementales
61
Como,
E4 E3 E2 E1 A =
=
=
=
=
1
0
0
1
2
1
0
0
1
2
1
0
0
1
2
1
0
0
1
2
1 0
0 1
!
!
!
!
!
−1 0
0 1
−1 0
0 1
−1 0
!
!
!
1 1
0 1
1 1
0 1
!
3 1
!
−1 0
0 1
!
1 0
1 0
0 2
!
−1 −2
3
−1 −2
0
2
8
!
!
!
0 2
= I2 .
Además, por el teorema 1.11 tenemos que,
!
!
1 0
−1 0
−1
−1
E4 =
, E3 =
, E2−1 =
0 2
0 1
1 −1
0
1
!
, E1−1
=
1 0
−3 1
Por lo cual,
E4 E3 E2 E1 A = I2
E3 E2 E1 A = E4−1 I2
E3 E2 E1 A = E4−1
E2 E1 A = E3−1 E4−1
E1 A = E2−1 E3−1 E4−1
A = E1−1 E2−1 E3−1 E4−1 .
Dado que, A es invertible. Entonces existe A−1 tal que AA−1 = A−1 A = I2 .
por lo tanto,
E4 E3 E2 E1 A = I2
(E4 E3 E2 E1 A)A−1 = I2 A−1
E4 E3 E2 E1 (AA−1 ) = I2 A−1
E4 E3 E2 E1 (I2 ) = I2 A−1
E4 E3 E2 E1 = A−1 .
!
.