1.5. Matrices elementales
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Por otro lado,
1
1
Ep
Ep (α) = fp
(Ep (α))
(por el teorema 1.10(2))
α
α
1
= fp
(fp (α)(In )) (por la definición 1.22(2))
α
= In .
Se tiene que, Ep (α) es invertible. Además Ep−1 (α) = Ep ( α1 ).
Caso 3. Supongamos que E = Epq (α) con α ∈ F − {0}. Como,
Epq (α)Epq (−α) = fpq (α)(Epq (−α))
(por el teorema 1.10(3))
= fpq (α)(fpq (−α)(In )) (por la definición 1.22(3))
= In .
Así,
Epq (−α)Epq (α) = fpq (−α)(Epq (α))
(por el teorema 1.10(10))
= fpq (−α)(fpq (α)(In )) (por la definición 1.22(3))
= In .
−1 (α) = E (−α).
Se tiene que, Epq (α) es invertible. Además Epq
pq
f
Obsevación 1.18 Si A es equivalente por fila a B, es decir, A −−−→ B, entonces
existen matrices elementales E1 , E2 · · · , Ek tal que
B = Ek · · · E2 E1 A.
f
Es importante resaltar que, si A es una matriz invertible, entonces A −−−→ In . Esto
quiere decir que existen matrices elementales E1 , E2 · · · , Ek tal que In = Ek · · · E2 E1 A.
Luego por el teorema 1.11, existen E1−1 , E2−1 · · · , Ek−1 , por lo cual, A = E1−1 E2−1 · · · Ek−1 .
Además, A−1 = Ek · · · E2 E1 .
Ejemplo 1.28 Encuentre una serie de matrices elementales (si es posible) cuyo producto sea
!
−1 −2
A=
.
3
8
Solución. Se empieza por encontrar una serie de operaciones elementales entre filas
que pueda usarse para escribir nuevamente A en forma de escalonada reducida,