1. Matrices
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Por lo tanto, E3 (i) es invertible y
E3−1 (i)
1
= E3
.
i
c) Consideremos la matriz E13 (2i). Se tiene
1
E13 (2i)E13 (−2i) =
0
0
1
=
0
0
que,
0 2i
1
0
0
1
0
= I3 .
1 0 −2i
0
0 1
1
0 0
0
0
1
0
1
Además, E13 (−2i)E13 (2i) = I3 .
−1
Así, E13 (2i) es invertible y E13
(2i) = E13 (−2i).
Observe que cada matriz elemental dada en el ejemplo 1.25 son invertbles y además
cada inversa encontrada es también elemental.
Teorema 1.11 Las matrices elementales son invertibles. Además, sus inversas son
matrices elementales.
Prueba. Sea E ∈ Mn (F) una matriz elemental.
Caso 1. Supongamos que E = Epq . Como,
Epq Epq = fpq (Epq )
(por el teorema 1.10(1))
= fpq (fpq (In )) (por la definición 1.22(1))
= In .
−1 = E .
Se tiene que, Epq es invertible. Además Epq
pq
Caso 2. Supongamos que E = Ep (α) con α ∈ F − {0}. Como,
1
1
= fp (α) Ep
(por el teorema 1.10(2))
Ep (α)Ep
α
α
1
= fp (α)(fp
(In )) (por la definición 1.22(2))
α
= In .