Álgebra Lineal | Page 65

1.5. Matrices elementales

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Teorema 1.10 Sean Epq , Ep , Epq (α) ∈ Mm (F) con α ∈ F − {0} matrices elementales
y A ∈ Mm×n (F). Entonces;
1. Epq A = fpq (A),
2. Ep (α)A = fp (α)(A),
3. Epq (α)A = fpq (α)(A).
Se deja como actividad para los estudiantes probar el teorema 1.10.
Ahora nos preguntamos si dad a una matriz elemental, es invertible.
Ejemplo 1.27 Consideremos las matrices elementales dadas en el ejemplo 1.25, determinar si cada una de ellas poseen inversa.
Solución.
a) Consideremos la matriz E13 . Se tiene que,


0 0 1


E13 E13 = 
 0
1

1

= 
 0
0
= I3 .



0 0 1







1 0 
 0 1 0 
0 0
1 0 0

0 0

1 0 

0 1

Por lo tanto, E13 es invertible. Además,
−1
= E13 .
E13

b) Consideremos la matriz E3 (i). Se tiene que,


1
0
0
1 0
 


1

E3 (i)E3
= 
 0 1 0  0 1
i
0 0 i
0 0


1 0 0



= 
0
1
0


0 0 1


= E3 1i E3 (i)
= I3 .

0




0 

1
i