1. Matrices
52
Por lo tanto,
AB = A B.
3. Sean A, B ∈ Mm×n (F). Entonces,
(A + B)∗ = (A + B)⊤ (por la definición 1.21)
= A⊤ + B ⊤
(por el teorema 1.8(2))
= A⊤ + B ⊤
(por la observación 1.16)
= A∗ + B ∗ .
(por la definición 1.21)
Así, (A + B)∗ = A∗ + B ∗ .
5. Sea A ∈ Mm×n (F) y B ∈ Mn×p (F). Entonces,
(AB)∗ = (AB)⊤
(por la definición1.21)
= B ⊤ A⊤
(por el teorema1.8(4))
= B ⊤ A⊤ (por el teorema1.9(1))
= B ∗ A∗ .
(por la definición1.21)
Entonces, (AB)∗ = B ∗ A∗ .
Actividad 8. Un Criptograma. es un mensaje escrito según un código secreto (la
palabra griega Kriptos significa oculto).
Supongamos que un agentes de un servicio secreto reciben mensajes codificados. Cada
letra es sustituida por el número de su posición en el alfabeto y el cero (0) es asignado
a un espacio en blanco. Esto es, a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7, h =
8, i = 9, j = 10, k = 11, l = 12, m = 13, n = 14, ñ = 15, o = 16, p = 17, q = 18, r =
19, s = 20, t = 21, u = 22, v = 23, w = 24, x = 25, y = 26, z = 27. Con estos números
se forma la matriz M que contiene el mensaje.
13 1 19 9
1 14 1 0
Por ejemplo si M =
5 20 0 6 , el mensaje es ¨mariana es feliz¨.
5 12 9 27
Para mayor seguridad, cada mensaje de una cierta cantidad de letras es enviado al
agente de la forma M ⊤ A⊤ , donde,
i
i
A=
.
2 −3
Es decir, el agente recibe el resultado M ⊤ A⊤ y debe encontrar M .