1.4. Ecuaciones lineales con n incógnitas
A∗ = A⊤ =
51
7
3
9
i 4− i
3+ i
2 12
2
1
3
1
2+ i −
−
3
2
2
−2i
−2
4
2
4i
2 + 3i
.
Obsevación 1.16 Sean A, B ∈ Mm×n (F). Entonces A + B = A + B.
Teorema 1.9 Si A, B son matrices (con órdenes adecuados para que las operaciones
de matrices dadas estén definidas) y α ∈ F, entonces
1. AB = A B,
2. (A∗ )∗ = A,
3. (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,
4. (αA)∗ = αA∗ ,
5. (AB)∗ = B ∗ A∗ ,
6. Si A es invertible, entonces A∗ es invertible y (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Prueba.
Del teorema 1.9 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean A ∈ Mm×n (F) y B ∈ Mn×p (F). Entonces,
[AB]ij
= [AB]ij
=
=
=
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
[A]ik [B]kj
(por la definición 1.21)
(por la definición 1.12)
[A]ik [B]kj (por el teorema 1.1(1))
[A]ik [B]kj (por el teorema 1.1(4))
k=1
=
n
X
[A]ik [B]kj
(por la definición 1.21)
k=1
= [A B]ij .
(por la definición 1.12)