1. Matrices
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5. Sea A ∈ Mn (F). Entonces existe A−1 ∈ Mn (F) tal que AA−1 = A−1 A = In (por la
definición 1.19). Luego,
(A−1 )⊤ A⊤ = (AA−1 )⊤ (por el teorema 1.8 (4))
= (In )⊤
(Por lo anterior)
= In .
(por la nota 1.15)
Entonces,
A⊤ (A−1 )⊤ = (A−1 A)⊤ (por el teorema 1.8 (4))
= (In )⊤
(Por lo anterior)
= In .
(por la nota 1.15)
Esto quiere decir que A⊤ es invertible, por lo tanto existe (A⊤ )−1 tal que (A⊤ )−1 A⊤ =
A⊤ (A⊤ )−1 = In (por la definición 1.19). Así, (A⊤ )−1 = (A−1 )⊤ (por el teorema 1.5).
Definición 1.21 Sea A ∈ Mm×n (F). se define la conjugada de A, denotado por A,
mediante: [A]ij = [A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Además definimos la
transpuesta conjugada o transpuesta hermitiana, denotada por A∗ , por A∗ =
A⊤ .
Ejemplo 1.24 Dada la matriz A =
1
9
2
3 − i 2 − i 2i
2
3
3
7
−2 −4i
− i −
12
2
3
1
4+ i −
4 2 − 3i
2
2
hallar la transpuesta hermitiana de A.
,
Solución.
⊤
∗
Dado que A = A⊤ . Entonces, A =
9
7
3
3− i − i 4+ i
2
12
2
1
3
1
2− i −
−
3
2
2
2i
−2
4
2
−4i
2 − 3i
. Por lo cual,