1.4. Ecuaciones lineales con n incógnitas
filas de A por columnas. Por lo tanto,
A=
29
2
17
−
2
7
2
49
5
−
2
3
2
1
−
2
3
−2
.
1
Obsevación 1.15 La transpuesta de In es ella misma, es decir, (In )⊤ = In .
Teorema 1.8 Si A, B son matrices (con órdenes adecuados para que las operaciones
de matrices dadas estén definidas) y α ∈ F, entonces
1. (A⊤ )⊤ = A,
2. (A + B)⊤ = A⊤ + B ⊤ ,
3. (αA)⊤ = αA⊤ ,
4. (AB)⊤ = B ⊤ A⊤ ,
5. Si A es invertible, entonces A⊤ es invertible y (A⊤ )−1 = (A−1 )⊤ .
Prueba.
Del teorema 1.8 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sea A ∈ Mm×n (F). Entonces,
[(A⊤ )⊤ ]ij
= [A⊤ ]ji (por la definición 1.20)
= [A]ij .
(por la definición 1.20)
Por lo tanto,
(A⊤ )⊤ = A.
3. Sean A ∈ Mm×n (F) y α ∈ F. Entonces,
[(αA)⊤ ]ij
= [αA]ji
(por la definición 1.20)
= α[A]ji
(por la definición 1.11)
=
α[A⊤ ]ij .
(por la definición 1.20)
Así,
(αA)⊤ = αA⊤ .