1.4. Ecuaciones lineales con n incógnitas 47
es posible resolverlos simultáneamente. Lo anterior se lleva a cabo al unir la matriz identidad con la matriz de coeficientes para obtener,
⎛ ⎞
() A. I 2
= ⎝ 1 4. 1 0 ⎠. −1 −3. 0 1
Al aplicar las operaciones elementales entre filas a esta matriz se puede resolver ambos sistemas con un solo proceso de eliminación, es decir, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ 1 4. 1 0 ⎠ f 21( 1)
−−−−−−→ ⎝ 1 4. 1 0 ⎠ −1 −3. 0 1 0 1. 1 1
⎛ ⎞ f 12( −4)
−−−−−−−→ ⎝
1 0. −3 −4 ⎠.
0 1. 1 1()()
Por lo tanto, de la matriz A. I 2 se obtuvo la matriz I 2. A −1.
() −3 −4 Así, A −1 =.
1 1
Este procedimiento es válido para cualquier matriz arbitraria de orden n × n. Si A no se puede reducir por operaciones elementales a I n, entonces A no es invertible. ⎛ ⎞ 1 3 −2 b) Calcular la inversa de la matriz A = ⎝ 2 8 −3 ⎠. 1 7 1
Solución. ⎛
⎞
() 1 3 −2. 1 0 0
Consideremos la matriz A. I 3 = ⎜ ⎝ 2 8 −3. 0 1 0
⎟ ⎠.
1 7 1. 0 0 1 Ahora, aplicamos( las operaciones) elementales entre filas, se intenta reescribir esta matriz en la forma I 3. A −1, es decir,
⎛ ⎜ ⎝
1 3 −2. 1 0 0 2 8 −3. 0 1 0
⎞ ⎟ ⎠
1 7 1. 0 0 1 ⎛ 1 3 −2. 1 0 0 f 31( −1)
−−−−−−−→ ⎜ ⎝ 0 2 1. −2 1 0 0 4 3. −1 0 1
f 21( −2)
−−−−−−−→
⎛ ⎜ ⎝
1 3 −2. 1 0 0 0 2 1. −2 1 0
⎞ ⎟ ⎠
1 7 1. 0 0 1 ⎞ ⎛
⎞
1 3 −2. 1 0 0 f
⎟ 32( −2)
⎠−−−−−−−→
⎜
⎟ ⎝ 0 2 1. −2 1 0 ⎠ 0 0 1. 3 −2 1