1. Matrices
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Ejemplo 1.22 Determinación de la inversa de una matriz.
a) Determinar la inversa de la matriz,
A=
1
4
−1 −3
Solución.
Queremos encontrar una matriz
A−1
=
A−1 A = I2 . Luego,
AA−1
=
x y
z k
1
4
−1 −3
.
, x, y, z, k ∈ F tal que, AA−1 =
x y
z k
x + 4z
y + 4k
=
−x − 3z −y − 3k
1 0
=
.
0 1
Esto quiere decir que, x + 4z = 1, −y − 3k = 1, y + 4k = 0, −x − 3z = 0. Resolviendo
el sistema se obtiene que z = 1, x = −3, k = 1, y = −4. Por lo tanto,
−3 −4
−1
A =
.
1
1
Intente aplicar la multiplicación de matrices para comprobar este resultado.
La generalización del método aplicado para resolver el ejemplo 1.22 proporciona un
método conveniente para determinar matrices inversas. Primero, observe que los dos
sistemas de ecuaciones lineales
x + 4z = 1
−x − 3z = 0
y
y + 4k = 0
−y − 3k = 1.
Tienen la misma matriz de coeficientes. En vez de resolver por separado los dos sistemas
representados por,
..
4 . 1 1
4
1
y
..
−1 −3 . 0
−1 −3
..
. 0
..
. 1