1.4. Ecuaciones lineales con n incógnitas
Por otro lado,
45
1
1 −1
A
c (AA−1 ) (por el teorema 1.3 (4))
(cA) =
c
c
= (1)(In )
(por lo anterior)
= In .
(por el teorema 1.2 (8))
Por lo tanto cA es invertible, es decir, existe (cA)−1 tal que, (cA)(cA)−1 = (cA)−1 (cA) =
1
In . Así, (cA)−1 = A−1 (por el teorema 1.5).
c
Teorema 1.7 Sean A y B ∈ Mn (F) matrices invertibles, entonces;
1. AB es invertible,
2. (AB)−1 = B −1 A−1 .
Prueba.
Del teorema 1.7 se harán las pruebas del impar y el par se dejan como actividad para
los estudiantes.
1. Sean A y B ∈ Mn (F) matrices invertibles. Entonces existen A−1 y B −1 tal que,
AA−1 = A−1 A = In y BB −1 = B −1 B = In (por la definición 1.19). Luego;
(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 (por el teorema 1.3 (1))
= A(In )A−1
(por lo anterior)
= (AIn )A−1
(por el teorema 1.3 (1))
= AA−1
(por el teorema 1.4 (2))
= In .
(por lo anterior)
Por otro lado,
(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B (por el teorema 1.3 (1))
= B −1 (In )B
=
Así, AB es invertible.
(B −1 I
n )B
(por lo anterior)
(por el teorema 1.3 (1))
= B −1 B
(por el teorema 1.4 (2))
= In .
(por lo anterior)