1. Matrices
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Teorema 1.5 Sea A ∈ Mn (F) una matriz invertible, entonces su inversa es única.
Prueba. Sea A ∈ Mn (F) una matriz invertible. Entonces existe una inversa B de A
tal que; AB = BA = In (por la definición 1.19). Supongamos que A tiene otra inversa
C. Se tiene que, AC = CA = In (por la definición 1.19). Luego,
B = In B
(por el teorema 1.4 (1))
= (CA)B (por lo anterior)
= C(AB) (por el teorema 1.3 (1))
= CIn
(por lo anterior)
= C.
(por el teorema 1.4 (2))
Por lo tanto, B = C. Así, la inversa de una matriz si existe está es única.
Obsevación 1.14 Dado que la inversa de una matriz es única, denotemos la inversa
de A mediante A−1 .
Teorema 1.6 Sean A ∈ Mn (F) invertible, k ∈ Z+ y c ∈ F − {0}, entonces;
1. (A−1 )−1 = A,
−1
2. (Ak )−1 = |A−1 A−1
{z· · · A },
k−veces
1
3. (cA)−1 = A−1 .
c
Prueba.
Del teorema 1.6 se harán las pruebas de los impares y el par se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sea A ∈ Mn (F) invertible. Entonces existe A−1 ∈ Mn (F) tal que AA−1 = A−1 A = In
(por la definición 1.19). Esto quiere decir que A−1 es invertible, por lo tanto existe (A−1 )−1 tal que (A−1 )−1 A−1 = A−1 (A−1 )−1 = In (por la definición 1.19). Así,
(A−1 )−1 = A (por el teorema 1.5).
3. Sean A ∈ Mn (F) invertible y c ∈ F − {0}. Entonces existe A−1 ∈ Mn (F) tal que
AA−1 = A−1 A = In (por la definición 1.19). Luego,
1
1 −1
A
=
c
(AA−1 ) (por el teorema 1.3 (4))
(cA)
c
c
= (1)(In )
(por lo anterior)
= In .
(por el teorema 1.2 (8))