1.3. Álgebra de matrices
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Definición 1.13 Sea In ∈ Mn (F). Diremos que la matriz In es la matriz identidad
si;
In =
1 si i = j
0 si i 6= j.
Es decir la diagonal principal es de puros 1 y el resto de las demás posiciones son ceros.
1
0
0 ··· 0
1
0 ··· 0
0
0
0
1 ··· 0 .
In =
..
.. . .
..
..
. .
.
.
.
0
0
0 ··· 1
Teorema 1.4 Sea A ∈ Mm×n (F). Entonces;
1. Im A = A,
2. AIn = A.
Prueba.
Del teorema 1.4 se harán la prueba de el impar y el par se dejan como actividad para
los estudiantes.
1. Sea A ∈ Mm×n (F). Queremos probar que, Im A = A. Dado que Im A ∈ Mm×n (F) y
A ∈ Mm×n (F), se tiene que, las matrices Im A y A poseen el mismo orden.
Faltaría probar que, [Im A]ij = [A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Como
[Im A]ij
m
X
=
[Im ]ik [Am ]kj
(por la definición 1.12)
k=1
= [Im ]ii [A]ij
(por la definición 1.13)
= 1[A]ij
(por la definición 1.13)
= [A]ij .
(por propiedad del elemento identidad en F)
Por lo tanto, [Im A]ij = [A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Así,
Im A = A.
Obsevación 1.7
Sean A ∈ Mn (F) y k ∈ Z+ . Se define la notación exponencial de matrices mediante;