Álgebra Lineal | Page 36

1. Matrices 28 Faltaría probar que [(B + C)A]ij = [BA + CA)]ij , para todo 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ r. Como, [(B + C)A]ij p X = [B + C]ik [A]kj = = (por la definición 1.12) k=1 p X (por la definición 1.10) ([B]ik + [C]ik )[A]kj k=1 p X (por la distributividad en F) ([B]ik [A]kj + [C]ik [A]kj ) k=1 p p X X [C]ik [A]kj [B]ik [A]kj + = (por propiedades de sumatoria) k=1 k=1 (por la definición 1.12) = [BA]ij + [CA]ij . Por lo tanto, [(B + C)A]ij = [BA + CA)]ij , para todo 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ r. Así, (B + C)A = BA + CA. Obsevación 1.6 Sean A ∈ Mm×n (F), B ∈ Mm×n (F) y C ∈ Mn×r (F). Es importante resaltar que en general el producto de matrices no tiene propiedad de cancelación. Es decir, si AC = BC, no necesariamente es cierto que A = B. Ejemplo 1.13 Consideremos las matrices A = calcular AC y BC. Solución. Así,  1 3 0 1  , B = AC =  1 3 0 1  1 −2 −1 2  BC =  2 4 2 3  1 −2 −1 2   2 4 2 3  y C = =  −2 4 −1 2  , =  −2 4 −1 2  . AC = BC y, sin embargo A 6= B.  1 −2 −1 2  ,