1. Matrices
28
Faltaría probar que [(B + C)A]ij = [BA + CA)]ij , para todo 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ r.
Como,
[(B + C)A]ij
p
X
=
[B + C]ik [A]kj
=
=
(por la definición 1.12)
k=1
p
X
(por la definición 1.10)
([B]ik + [C]ik )[A]kj
k=1
p
X
(por la distributividad en F)
([B]ik [A]kj + [C]ik [A]kj )
k=1
p
p
X
X
[C]ik [A]kj
[B]ik [A]kj +
=
(por propiedades de sumatoria)
k=1
k=1
(por la definición 1.12)
= [BA]ij + [CA]ij .
Por lo tanto, [(B + C)A]ij = [BA + CA)]ij , para todo 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ r. Así,
(B + C)A = BA + CA.
Obsevación 1.6
Sean A ∈ Mm×n (F), B ∈ Mm×n (F) y C ∈ Mn×r (F). Es importante resaltar que en
general el producto de matrices no tiene propiedad de cancelación. Es decir, si
AC = BC, no necesariamente es cierto que A = B.
Ejemplo 1.13
Consideremos las matrices A =
calcular AC y BC.
Solución.
Así,
1 3
0 1
, B =
AC =
1 3
0 1
1 −2
−1
2
BC =
2 4
2 3
1 −2
−1
2
2 4
2 3
y C =
=
−2 4
−1 2
,
=
−2 4
−1 2
.
AC = BC y, sin embargo A 6= B.
1 −2
−1
2
,