1.3. Álgebra de matrices
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3. (B + C)A = BA + CA,
4. α(AB) = (αA)B = A(αB).
Prueba.
Del teorema 1.3 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean A ∈ Mm×n (F), B ∈ Mn×p (F) y C ∈ Mp×r (F). Queremos probar que, (AB)C =
A(BC). Como AB es de orden m × p, entonces (AB)C es de orden m × r. Por otro
lado, BC es de orden n × r. Así, A(BC) es de orden m × r. Por lo tanto, las matrices
(AB)C y A(BC) poseen el mismo orden. Faltaría probar que [(AB)C]ij = [A(BC)]ij ,
para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ r. Como,
[(AB)C]ij
=
=
=
p
X
k=1
p
X
k=1
p
X
k=1
(por la definición 1.12)
[AB]ik [C]kj
n
X
[A]il [B]lk
l=1
!
[C]kj
(por la definición 1.12)
!
n
X
(([A]il [B]lk )[C]kj )
(por propiedades de sumatoria)
l=1
!
p
n
X
X
=
(([A]il [B]lk )[C]kj )
(por propiedades de sumatoria)
l=1
=
=
=
n
X
l=1
n
X
l=1
n
X
k=1
p
X
!
[A]il ([B]lk [C]kj )
k=1
p
X
[A]il
([B]lk [C]kj )
(por la asociatividad en F)
(por propiedades de sumatoria)
k=1
[A]il [BC]lj
(por la definición 1.12)
l=1
= [A(BC)]ij .
(por la definición 1.12)
Por lo tanto, [(AB)C]ij = [A(BC)]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ r.
Así, (AB)C = A(BC).
3. Sean A ∈ Mp×r (F), B ∈ Mn×p (F) y C ∈ Mn×p (F). Queremos probar que, (B +
C)A = BA + CA. Como B + C es de orden n × p, entonces (B + C)A es de orden
n × r. Por otro lado, BA es de orden n × r y CA es de orden n × r , así BA + CA es de
orden n × r. Por lo tanto, las matrices (B + C)A y BA + CA poseen el mismo orden.