1.3. Álgebra de matrices
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Faltaría probar que, [A + B]ij = [B + A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Como
[A + B]ij
= [A]ij + [B]ij (por la definición 1.10)
= [B]ij + [A]ij
(por conmutatividad en F)
= [B + A]ij .
(por la definición 1.10)
Por lo tanto, [A + B]ij = [B + A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Así,
A + B = B + A.
3. Sea A ∈ Mm×n (F). Queremos probar que, A + 0 = A. Dado que A + 0 ∈ Mm×n (F)
y A ∈ Mm×n (F), se tiene que, las matrices A + 0 y A poseen el mismo orden.
Faltaría probar que, [A + 0]ij = [A]i j , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Como
[A + 0]ij
= [A]ij + [0]ij
(por la definición 1.10)
= [A]ij .
(por definición del neutro en F)
Por lo tanto, [A + 0]ij = [A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Así,
A + 0 = A.
5. Sean A, B ∈ Mm×n (F) y α ∈ F. Queremos probar que, α(A + B) = αA + αB. Dado
que α(A + B) ∈ Mm×n (F) y αA + αB ∈ Mm×n (F), se tiene que, las matrices α(A + B)
y αA + αB poseen el mismo orden.
Faltaría probar que, [α(A + B)]ij = [αA + αB]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n.
Como
[α(A + B)]ij
= α[A + B]ij
(por la definición 1.11)
= α([A]ij + [B]ij ) (por la definición 1.10)
= α[A]ij + α[B]ij
(por la distributividad en F)
= [αA]ij + [αB]ij
(por la definición 1.11)
= [αA + αB]ij .
(por la definición 1.10)
Así, [α(A + B)]ij = [αA + αB]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Por lo tanto,
α(A + B) = αA + αB.