1. Matrices
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Obsevación 1.4
a) El 0 ∈ Mm×n (F) es la matriz que se define por [0]ij = 0, para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤
j ≤ n, y se le llama matriz nula, es decir la matriz nula tiene todas sus componentes
cero.
0 0 0 ···
0 0 0 · · ·
0 = 0 0 0 · · ·
.. .. .. . .
. . .
.
0 0 0 ···
0
0
0
.
..
.
0
b) Dado A ∈ Mm×n (F), existe B ∈ Mm×n (F) tal que A + B = 0 se llama inversa
aditiva de A, denotado por B = −A tal que,
[−A]ij = −[A]ij , para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n.
Luego, si [A]ij = aij entonces −A es la inversa aditiva de A tal que [−A]ij = −aij .
Teorema 1.2 Sean A, B, C ∈ Mm×n (F) y α, β ∈ F. Entonces,
1. A + B = B + A,
2. (A + B) + C = A + (B + C),
3. A + 0 = A,
4. A + (−A) = 0,
5. α(A + B) = αA + αB,
6. (α + β)A = αA + βA,
7. (αβ)A = α(βA),
8. 1A = A,
9. si αA = 0 entonces α = 0 ó A = 0.
Prueba.
Del teorema 1.2 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean A, B ∈ Mm×n (F). Queremos probar que, A + B = B + A. Dado que A + B ∈
Mm×n (F) y B + A ∈ Mm×n (F), se tiene que, las matrices A + B y B + A poseen el
mismo orden.