174 3. Espacios vectoriales
5. ¿ Cuáles de los siguientes subconjuntos S es un subespacio de un espacio vectorial V?
a) V = R n y S = {( x 1,..., x n) ∈ R n: x 1 ≤ 0 }, b) V = R n y S = {( x 1,..., x n) ∈ R n: x 1 es racional }, c) V = M n( C) y S = { A ∈ M n( C): A ∗ = A }, d) V = M n( F) y S = { A ∈ M n( F): A es invertible }, e) V = M 2( F) y S = { A ∈ M 2( F): A es simétrica }, f) V = M n( F) y S = { A ∈ M n( F): A conmuta con P } donde P ∈ M n( F),
g) V = M n( F) y S = { T ∈ M n( F): T es triangular superior }, h) V = M n( F) y S = { D ∈ M n( F): D es diagonal },
i) V = F( R, R) y S = { g ∈ F( R, R): g( 1) = g( 0)}.
6. Dé un ejemplo que demuestre que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no necesariamente es un subespacio de V.
7. Determine si el conjunto S dado genera a R 3. a) S = {( 2,0,7),( 2,4,5),( 2, −12,13)}, b) S = {( 4,7,3),( −1,2,6),( 2, −3,5)}, c) S = {( 6,7,6),( 3,2, −4),( 1, −3,2)}, d) S = {( 1, −2,0),( 0,0,1),( −1,2,0)}.
8. Encuentre una base y la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales dados,
a)
b)
⎧ ⎨
⎩ ⎧ ⎨
⎩
3x + 3y + 15w + 11z = 0 x−3y + w + z = 0 2x + 3y + 11w + 8z = 0
x−y + 2w −22z = 0 x−3w −2z = 0 ix−2y + 3w −z = 0 c)
d)
⎧ ⎨
⎩ ⎧ ⎨
⎩
2x−3iy + 4w −3z = 0 x + 2iw −z = 0 3ix−y + 3w −z = 0
3x−y + 4iw −z = 0 x + 2iw −3z = 0
−x−iy + 4w −z = 0.
9. Efectúe una rotación de ejes para eliminar el término xy y trace la gráfica de la cónica,
a) xy + 1 = 0, b) 5x 2 −2xy + 5y 2 + 64 = 0, c) x 2 + 2xy + y 2 −8y + 8x = 0, d) 13x 2 + 6xy + 7y 2 −16 = 0.