3.6. Coordenadas y cambio de base
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10. El conjunto W formado por todos los puntos de R2 que tienen la forma (x, x)
es una línea recta. ¿Es W un subespacio de R2 ? Explique.
11. Sea W el conjunto de todos los puntos en R3 que están en el plano xy. ¿Es W
un subespacio de R3 ? Explique.
12. Si A es una matriz de 3 × 4, ¿cuál es el máximo valor posible para rango A?
13. Sea A una matriz de 7 × 3 cuyo rango es 3.
a) ¿Son las filas de A linealmente dependientes o linealmente independientes?
Justifique su respuesta,
b) ¿Son las columnas de A linealmente dependientes o linealmente independientes? Justifique su respuesta.
14. Consideremos las bases B = {(1, −2, 5), (3, −4, 3), (5, −3, 4)} y
W = {(1, 3, −2), (3, 8, 3), (4, −3, 5)} de R3 .
a) Determine las coordenadas de un vector arbitrario u = (u1 , u2 , u3 ) con
respecto a la base B,
b) Hallar la matriz de transición P desde B hasta W ,
c) Determine las coordenadas de un vector arbitrario u = (u1 , u2 , u3 ) con
respecto a la base W ,
d) Hallar la matriz de transición P1 desde W hasta B,
e) Mostrar que P [u]W = [u]B , para todo vector u = (u1 , u2 , u3 ),
f) Mostrar que P −1 [u]B = [u]W , para todo vector u = (u1 , u2 , u3 ).
15. Resolver el sistema lineal dado y escriba la solución x como x = xp + xh , donde
xp es una solución particular del sistema dado y xh es una solución del sistema
homogéneo asociado.
3x + 3y + 15w + 11z
a)
x − 3y + w + z
2x + 3y + 11w + 8z
x − y + 2w − 22z =
b)
x − 3w − 2z =
ix − 2y + 3w − z =
=
3
= −2
=
3
−3
1
5
2x − 3iy + 4w − 3z = −3
c)
x + 2iw − z =
2
3ix − y + 3w − z =
5
4
3x − y + 4iw − z =
d)
x + 2iw − 3z = −3
−x − iy + 4w − z = −5.
16. Sea H un subespacio de R4 cuya base es B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0)}.
Hallar dimensión y ecuación cartesiana de H.
17. Hallar x y y para que el vector (2, 3, x, y) pertenezca al subespacio
gen((6, 1, 2, 0), (−2, 3, 1, 1)).