3.6. Coordenadas y cambio de base
171
Entonces,
2−1
√
3
1
cot(θ) = √
3
√
tan(θ) =
3
cot(θ) =
θ = 30◦ .
Luego sustituyendo θ = 30◦ en la ecuación (3.3), se tiene que:
x = x8 cos(30◦ ) − y 8 sen(30◦ )
√
3 8 1 8
x − y
x =
2
2
y = x8 sen(30◦ ) + y 8 cos(30◦ )
√
1 8
3 8
y =
x +
y.
2
2
Ahora sustituimos estos valores de x, y en la ecuación (3.5), se obtiene que
2
√
3 8 1 8
x − y
2
2
!2
+
√
3
!
√
3 8 1 8
x − y
2
2
√ !
1 8
3 8
x +
y +
2
2
√ !2
1 8
3 8
x +
y
= 4.
2
2
Desarrollando y simplificando esta última ecuación, obtenemos la ecuación transformada,
(y 8 )2
(x8 )2
√
+
= 1.
q 2
( 8)2
8
(3.6)
5
Note que el lugar geométrico de la ecuación (3.6) es una elipse. Además, por lo expuesto
anteriormente tenemos que la nueva base (rotación) de R2 viene dada por,
!
( √
√ !)
1 3
3 1
, − ,
.
W =
,
2 2
2 2
√
Además,
las
coordenadas
de
los
vértices
de
la
elipse
con
respecto
a
W
son
(0,
8)W y
√
(0, − 8)W .
Para encontrar las coordenadas de los vértices con respecto a la base normal B =
{(1, 0), (0, 1)}, se usa las ecuaciones
√
√
3 8 1 8
3 8
1 8
x=
x − y ,y = x +
y.
(3.7)
2
2
2
2