3. Espacios vectoriales
170
Por lo tanto, la inversa de la matriz P es;
cos(θ) sen(θ)
−1
P =
.
−sen(θ) cos(θ)
Por otro lado, como (x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1). Entonces,
x
.
[u]B =
y
8
x
Supongamos que [u]W =
. Por lo tanto,
y8
Estos quiere decir que,
P −1 [u]B = [u]W
8
cos(θ) sen(θ)
x
x
=
y8
−sen(θ) cos(θ)
y
8
cos(θ)x + sen(θ)y
x
.
=
y8
−sen(θ)x + cos(θ)y
x8 = xcos(θ) + ysen(θ) y y 8 = −xsen(θ) + ycos(θ).
(3.2)
x = x8 cos(θ) − y 8 sen(θ) , y = x8 sen(θ) + y 8 cos(θ).
(3.3)
Las ecuaciones (3.2) dan las coordenadas x8 , y 8 en términos de x, y. Para realizar
una rotación de ejes es pertinente expresar las coordenadas x, y en términos de las
coordenadas x8 , y 8 .
De las ecuaciones (3.2) se pueden despejar x, y, obteniéndose
Obsevación 3.6 Sustituyendo las ecuaciones (3.3) en las ecuaciones (3.1), se obtiene
una ecuación polinomial de segundo grado en x8 , y 8 que no tiene término x8 y 8 , es decir,
A8 (x8 )2 + C 8 (y 8 )2 + D 8 (x8 ) + E 8 (y 8 ) + F 8 = 0.
En donde cot(θ) =
(3.4)
A−C
.
B
Actividad 1. Efectúe una rotación de ejes para eliminar el término xy en
2x2 +
√
3xy + y 2 = 4
y trace en el plano x8 y 8 la gráfica de la ecuación resultante.
Solución. Como el ángulo de rotación viene dado por cot(θ) =
√
A = 2, B = 3 y C = 1.
(3.5)
A−C
, en donde
B