3.6. Coordenadas y cambio de base 169
Consideremos un vector arbitrario u =( x, y) en R 2. Determine las coordenadas del vector u con respecto a la base W.
Por el teorema 3.10, se tiene que P −1 [ u ] B = [ u ] W. Recordemos que P −1 es la matriz de transición desde W hasta B y la inversa de la matriz de transición P. Hallar la matriz de transición P desde B hasta W.
Solución. Dado que B es una base de R 2, se tiene que cada vector de W se puede expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de B. Es decir,
Además,
( cos( θ), sen( θ)) = cos( θ)·( 1,0)+ sen( θ)·( 0,1).
( −sen( θ), cos( θ)) = −sen( θ)·( 1,0)+ cos( θ)·( 0,1).
Por lo tanto, la matriz de transición P desde la base B hasta la base W viene dada por() cos( θ) −sen( θ)
P =
. sen( θ) cos( θ) ⎛
⎞
() Consideremos la matriz P. I 2
= ⎝ cos( θ) −sen( θ). 1 0 ⎠. sen( θ) cos( θ). 0 1 Ahora, aplicamos( las operaciones) elementales entre filas, se intenta reescribir esta matriz en la forma I 2. P −1, es decir,
⎛ ⎞
⎝ cos( θ) −sen( θ). 1 0
⎠ sen( θ) cos( θ). 0 1
⎛ ⎞ f 1( cos( θ))
−−−−−−−−→ ⎝ 1−sen2( θ) −cos( θ) sen( θ). cos( θ) 0 ⎠ sen( θ) cos( θ). 0 1
⎛ ⎞ f 12( sen( θ))
−−−−−−−−−→ ⎝
1 0. cos( θ) sen( θ) ⎠ sen( θ) cos( θ). 0 1 ⎛
⎞ f 21( −sen( θ))
−−−−−−−−−−→ ⎝
1 0. cos( θ) sen( θ) ⎠
0 cos( θ). −sen( θ) cos( θ) 1−sen 2( θ)
() ⎛
⎞ f 1 2 cos( θ) −−−−−−−−−→ ⎝
1 0. cos( θ) sen( θ) ⎠.
0 1. −sen( θ) cos( θ)