3.6. Coordenadas y cambio de base
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Hasta el momento hemos visto la estructura de espacios vectoriales que es propia de los
vectores y es aplicable a matrices, a los polinomios y a las funciones y permite identificar
matrices como vectores. Además construye una base solida para el desarrollo de la
Geometría. Una aplicación de las operaciones permitidas en Geometría que dio fruto en
el trabajo árabe sobre la ecuación cúbica alrededor del años 800 y tuvo repercusiones
en la Mecánica y Astronomía, fue la introducción de una nueva clases de curvas,
las Secciones Cónicas. Estas curvas tienen gran importancias en la Historia de las
Matemáticas, se obtienen seccionando un cono doble con un plano.
Es importante resaltar que según Stewart (2007), las Secciones
Cónicas fueron estudiadas con detalle por Apolonio de Perga,
viajó desde Perga en Asia Menor a Alejandría para estudiar con
Euclides. Su obra muestra, las secciones cónicas de aproximadamente el 230 a.C., contiene 487 teoremas. Fueron muchos matemáticos que contribuyeron al estudio de las Secciones Cónicas
antes que Apolonio, no obstante dice Boryer (1992), siguiendo el
camino metodológico trazado por sus antecesores, Apolonio proApolonio de Perga fundizó en el estudio de tales curvas llegando a generalizaciones
(262 − 190 a.C.) que le permitieron formalizar de una manera rigurosa su establecimiento dentro las Matemáticas. Para Cadenas y Rivas (2009), luego de la muerte de
Apolonio, la Matemática griega y más tarde la de toda Europa, entra en un período
de decadencia que se extiende hasta la edad media.
3.6.1.
Secciones Cónicas y Rotación
Existen varias formas de introducir las cónicas. Se puede comenzar, como la hacían los
griegos, definiendo las cónicas en términos de intersecciones de planos y conos, o bien
definirlas algebraicamente en términos de ecuación general de segundo grado
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
(3.1)
Cuando el coeficiente del término xy es cero, es decir B = 0, entonces es fácil identificar
la gráfica de la ecuación (3.1). En este caso los ejes canónicos son paralelos a los ejes
coordenados donde al menos A 6= 0 o C 6= 0, y dependiendo de los valores de A, C,
D, E y F puede representar una circunferencia, elipse, hipérbolas, parábola o rectas.