166 3. Espacios vectoriales
e) Mostrar que P [ u ] W = [ u ] B, para todo vector u =( u 1, u 2). Solución. Por el ejemplo 3.24( b) y( c), se tiene que
Luego,
Así,
P =
⎛ ⎜ ⎝
− 13 2 5
2
−18
7
⎞ ⎟ ⎠ y [ u ] W =
( −8u1 + 3u 2 3u 1 −u 2
⎛ − 13 ⎞
−18() ⎜ 2 ⎟ −8u1 + 3u
P [ u ] W = 2 ⎝ ⎠
5 3u 1 −u 2 7
2 ⎛ −2u ⎜ 1 − 3 ⎞
= ⎝
2 u 2⎟ u 1 + u ⎠
2
2
= [ u ] B.
P [ u ] W = [ u ] B. f) Mostrar que P −1 [ u ] B = [ u ] W, para todo vector u =( u 1, u 2). Solución. Por el ejemplo 3.24( d) y( a), se tiene que
).
Además,
Por lo tanto,
P −1 =
( −14 −36
P −1 [ u ] B =
=
5 13
)
⎛ −2u ⎜ 1 − 3 ⎞ y [ u ] B = ⎝
2 u 2⎟ u 1 + u ⎠.
2
2
() ⎛
−14 −36 −2u ⎜ 1 − 3 ⎞ ⎝
2 u 2⎟ 5 13 u 1 + u ⎠
2
2
() −8u1 + 3u 2
= [ u ] W.
3u 1 −u 2
P −1 [ u ] B = [ u ] W.