3.6. Coordenadas y cambio de base
165
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = −8u1 + 3u2 y c2 = 3u1 − u2 .
⊤
−8u1 + 3u2
Por lo tanto, [u]W =
= −8u1 + 3u2 3u1 − u2 .
3u1 − u2
d) Hallar la matriz de transición P1 desde W hasta B.
Solución. Dado que W es una base de R2 , se tiene que cada vector de B se puede
expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de W . Es decir,
(1, −2) = c1 · (1, 3) + c2 · (3, 8)
= (c1 , 3c1 ) + (3c2 , 8c2 )
= (c1 + 3c2 , 3c1 + 8c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
c1 + 3c2 =
1
3c1 + 8c2 = −2.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = −14 y c2 = 5.
Así,
(1, 3) = −14 · (1, 3) + 5 · (3, 8).
Por otro lado,
(3, −4) = c1 · (1, 3) + c2 · (3, 8)
= (c1 , 3c1 ) + (3c2 , 8c2 )
= (c1 + 3c2 , 3c1 + 8c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
c1 + 3c2 =
3
3c1 + 8c2 = −4.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = −36 y c2 = 13.
Luego,
(3, 8) = −36 · (1, 3) + 13 · (3, 8).
Por lo tanto, la matriz de transición P1 desde la base W hasta la base B viene dada
por,
!
−14 −36
P1 =
.
5
13
Note que P P1 = P1 P = I2 . Por lo tanto, P1 = P −1 .