3. Espacios vectoriales
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Luego,
(1, 3) = −
5
13
· (−1, 2) + · (2, −2).
2
2
Por otro lado,
(3, 8) = c1 · (1, −2) + c2 · (3, −4)
= (c1 , −2c1 ) + (3c2 , −4c2 )
= (c1 + 3c2 , −2c1 − 4c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
c1 + 3c2
= 3
−2c1 − 4c2 = 8.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = −18 y c2 = 7.
Así,
(3, 8) = 11 · (−1, 2) + 7 · (2, −2).
La matriz de transición P desde la base B hasta la base W viene dada por,
13
−18
2
P =
.
5
7
2
c) Determine las coordenadas de un vector arbitrario u = (u1 , u2 ) con respecto a la
base W .
−
Solución. Para hallar el vector de coordenadas de u = (u1 , u2 ) con respecto a W , es
necesario encontrar escalares c1 , c2 tal que
u = c1 · (1, 3) + c2 · (3, 8).
Proceso de búsqueda,
(u1 , u2 ) = c1 · (1, 3) + c2 · (3, 8)
= (c1 , 3c1 ) + (3c2 , 8c2 )
= (c1 + 3c2 , 3c1 + 8c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
c1 + 3c2 = u1
3c1 + 8c2 = u2 .