3.6. Coordenadas y cambio de base
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Ejemplo 3.24 Consideremos las bases B = {(1, −2), (3, −4)} y W = {(1, 3), (3, 8)}
de R2 .
a) Determine las coordenadas de un vector arbitrario u = (u1 , u2 ) con respecto a la
base B.
Solución. Para hallar el vector de coordenadas de u = (u1 , u2 ) con respecto a B, es
necesario encontrar escalares c1 , c2 tal que
u = c1 · (1, −2) + c2 · (3, −4).
Proceso de búsqueda,
(u1 , u2 ) = c1 · (1, −2) + c2 · (3, −4)
= (c1 , −2c1 ) + (3c2 , −4c2 )
= (c1 + 3c2 , −2c1 − 4c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
c1 + 3c2
= u1
−2c1 − 4c2 = u2 .
u2
3
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = −2u1 − u2 y c2 = u1 + .
2
2
3
⊤
−2u1 − u2
2 = −2u − 3 u u + u2
Por lo tanto, [w]B =
.
2
1
1
u2
2
2
u1 +
2
b) Hallar la matriz de transición P desde B hasta W .
Solución. Dado que B es una base de R2 , se tiene que cada vector de W se puede
expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de B. Es decir,
(1, 3) = c1 · (1, −2) + c2 · (3, −4)
= (c1 , −2c1 ) + (3c2 , −4c2 )
= (c1 + 3c2 , −2c1 − 4c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
c1 + 3c2
= 1
−2c1 − 4c2 = 3.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = −
13
5
y c2 = .
2
2