3. Espacios vectoriales
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Como (−1, 2) = −1 · (1, 0) + 2 · (0, 1) y (2, −2) = 2 · (1, 0) − 2 · (0, 1). Entonces,
−1
2
Q=
.
2 −2
Note que,
PQ =
1
1
1
−1
2
1 0
=
= I2 .
1
2 −2
0 1
2
Por lo cual se puede concluir que la inversa de P es Q, es decir Q = P −1 .
Ejemplo 3.23
Sean B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B2 = {(1, 0, 1), (0, −1, 2), (2, 3, −5)} bases de
R3 . Halla la matriz de transición P desde la base B1 hasta la base B2 .
Solución. Dado que B1 es una base de R3 , se tiene que cada vector de B2 se puede
expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de B1 . Es decir,
(1, 0, 1) = 1 · (1, 0, 0) + 0 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1)
(0, −1, 2) = 0 · (1, 0, 0) − 1 · (0, 1, 0) + 2 · (0, 0, 1)
(2, 3, −5) = 2 · (1, 0, 0) + 3 · (0, 1, 0) − 5 · (0, 0, 1).
Por lo tanto, la matriz de transición de P desde la base B1 hasta la base B2 es
1
0
2
P = 0 −1
3 .
1
2 −5
Como P es invertible. Entonces la matriz de transición desde la base B2 hasta la base
B1 viene dada por la inversa de P , es decir P −1 . (Verificarlo)
El siguiente teorema nos describe cómo son afectados los vectores (columna) coordenados por un cambio de base.
Teorema 3.10 Sea P la matriz de transición desde una base B a una base W en un
espacio vectorial V . Entonces para cada vector u en V , tenemos que
P [u]W = [u]B y, por consiguiente P −1 [u]B = [u]W .
La demostración de este teorema se deja como actividad para los estudiantes.