3.6. Coordenadas y cambio de base
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Ejemplo 3.22 Sean B1 = {(−1, 2), (2, −2)} y B2 = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2 . Halla
la matriz de transición P desde la base B1 hasta la base B2 .
Solución. Dado que B1 es una base de R2 , se tiene que cada vector de B2 se puede
expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de B1 . Es decir,
(1, 0) = c1 · (−1, 2) + c2 · (2, −2)
= (−c1 , 2c1 ) + (2c2 , −2c2 )
= (−c1 + 2c2 , 2c1 − 2c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que
−c1 + 2c2 = 1
2c1 − 2c2 = 0.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = 1 y c2 = 1.
Así,
(1, 0) = 1 · (−1, 2) + 1 · (2, −2).
Por otro lado,
(0, 1) = c1 · (−1, 2) + c2 · (2, −2)
= (−c1 , 2c1 ) + (2c2 , −2c2 )
= (−c1 + 2c2 , 2c1 − 2c2 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que,
−c1 + 2c2 = 0
2c1 − 2c2 = 1.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = 1 y c2 = 21 .
Así,
1
(0, 1) = 1 · (−1, 2) + · (2, −2).
2
Por lo tanto, la matriz de transición P desde la base B1 hasta la base B2 viene dada
por
1 1
P =
1 .
1
2
Ahora queremos encontrar la matriz de transición Q desde la base B2 hasta la base
B1 .