3. Espacios vectoriales
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Es importante resaltar que en el ejemplo b), se tenían las coordenadas de un vector
con respecto a una base B1 y se pide determinar las coordenadas con respecto a otra
base B2 . A este proceso se le llama cambio de base.
Obsevación 3.4 Supongamos que c1 , c2 , . . . , cn son las coordenadas de un vector u
con respecto a una base B de un espacio vectorial V . En este caso definimos u por su
vector columna coordenado, mediante
c1
c2
⊤
[u]B = . = c1 , c2 , · · · , cn
.
.
.
cn
Supongamos que B1 = {u1 , u2 , . . . , un } es una base de un espacio vectorial V y que
B2 = {w1 , w2 , . . . , wn } es otra base de V . Si B1 es una base de V , se tiene que cada
vector de B2 se puede expresar de manera única como combinación lineal de de los
elementos de B1 . Es decir,
w1 = c11 u1 + c12 u2 + c13 u3 + · · · + c1n un
w2 = c21 u1 + c22 u2 + c23 u3 + · · · + c2n un
w3 = c31 u1 + c32 u2 + c33 u3 + · · · + c3n un
..
.
wn = cn1 u1 + cn2 u2 + cn3 u3 + · · · + cnn un .
Consideremos la transpuesta de la matriz denotada por P , con los coeficientes dados
anteriormente
c11 c21 · · · cn1
c12 c22 · · · cn2
P = .
..
..
.. .
..
.
.
.
c1n c2n · · · cnn
Esta matriz P se la llama cambio de base o matriz de transición desde la antigua
base B1 hasta la nueva base B2 .
Obsevación 3.5 Como los vectores w1 , w2 , . . . , wn de B2 son linealmente independiente, se tiene que la matriz P es invertible. Además P −1 es la matriz cambio de base
desde la B2 , volviendo a la B1 .