3.6. Coordenadas y cambio de base
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Proceso de búsqueda,
(−2, 7, −5) = c1 · (1, 0, 0) + c2 · (0, 1, 0) + c3 · (0, 0, 1)
= (c1 , c2 , c3 ).
Al igualar las componentes correspondientes se tiene que
c1 = −2
c =
7
2
c3 = −5.
Por lo tanto,
(w)B = (−2, 7, −5).
b) El vector de coordenadas de w en R2 con respecto a la base B1 = {(1, 0), (1, 2)}
es (w)B1 = (−2, 5). Determine las coordenadas de w con respecto a la base B2 =
{(1, 0), (0, 1)}.
Solución. Como el vector coordenado de w con respecto a la base B1 es (w)B1 =
(−2, 5). Entonces, w = −2 · (1, 0) + 5 · (1, 2) = (−2, 0) + (5, 10) = (3, 10). Además
(3, 10) = 3 · (1, 0) + 10 · (0, 1), por lo tanto (w)B2 = (3, 10).
c) Determine el vector de coordenadas de w = (1, 3, −2) en R3 con respecto a la base
B = {(1, 0, 1), (0, −1, 2), (2, 3, −5)}.
Solución. Para hallar el vector de coordenadas de w = (1, 3, −2) con respecto a B, es
necesario encontrar escalares c1 , c2 , c3 tal que
(1, 3, −2) = c1 · (1, 0, 1) + c2 · (0, −1, 2) + c3 · (2, 3, −5).
Proceso de búsqueda,
(1, 3, −2) = c1 · (1, 0, 1) + c2 · (0, −1, 2) + c3 · (2, 3, −5)
= (c1 , 0, c1 ) + (0, −c2 , 2c2 ) + (2c3 , 3c3 , −5c3 )
= (c1 + 2c3 , −c2 + 3c3 , c1 + 2c2 − 5c3 ).
Al igualar las componentes correspondientes se
c1 + 2c3
−c2 + 3c3
c1 + 2c2 − 5c3
tiene que
=
1
=
3
= −2.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = 7, c2 = −12 y c3 = −3.
Por lo tanto,
(w)B = (7, −12, −3).