158 3. Espacios vectoriales
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x 2t−p + 5
X = ⎜y
⎟ ⎝z⎠ =
⎜3p−t−7
⎟ ⎝ t ⎠ = t ·
⎜ ⎝ w p
2 −1 1 0
⎞ ⎟ ⎠ + p ·
⎛ ⎜ ⎝
−1 3 0 1
⎞ ⎟ ⎠ +
⎛ ⎜ ⎝
5 −7 0 0
⎞ ⎟ ⎠.
Obsérvese que el vector
X p =
⎛ ⎜ ⎝
5 −7 0 0
es una solución particular de sistema AX = B y ⎛ ⎞
2
X h = t · ⎜ −1
⎟ ⎝ 1 ⎠ + p · 0
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
−1 3 0 1
⎞ ⎟ ⎠
representa un vector arbitrario en el espacio solución de AX = 0.
3.6. Coordenadas y cambio de base
Es importante recordar que si una base B de un espacio vectorial V, entonces cualquier vector x en V se puede escribir en una y sólo una forma como una combinación lineal de los elementos de B.
Definición 3.10 Sean B = { u 1, u 2,..., u n } una base del espacio vectorial( V, F,+,·) y w un vector en V tal que w = c 1 · u 1 + c 2 · u 2 +...+ c n · u n. Entonces los escalares c 1, c 2,..., c n se le llaman coordenadas de w con respecto a la base B. El vector de coordenada de w con respecto a B es denotado por( w) B =( c 1, c 2,..., c n).
Obsevación 3.3 El orden de los vectores en la base es importante. En el contexto de la representación de coordenadas, B = { u 1, u 2,..., u n } algunas veces se denomina base ordenada.
Ejemplo 3.21
a) Determine el vector de coordenadas de w =( −2,7, −5) en R 3 con respecto a la base B = {( 1,0,0),( 0,1,0),( 0,0,1)}.
Solución. Para hallar el vector de coordenadas de w =( −2,7, −5), es necesario encontrar escalares c 1, c 2, c 3 tal que
( −2,7, −5) = c 1 ·( 1,0,0) + c 2 ·( 0,1,0) + c 3 ·( 0,0,1).