3.5. El rango y nulidad de una matriz
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Prueba. Sea Xt ∈ Fn1 una solución del sistema AX = B. Entonces Xt − Xp es una
solución del sistema homogéneo AX = 0, ya que
A(Xt − Xp ) = AXt − AXp (Por el teorema 1.3(2))
= B−B
= 0.
(Por hipótesis)
(Por el teorema 1.2(4))
Tomemos Xh = Xt − Xp , se tiene que Xt = Xp + Xh .
Ejemplo 3.20 Determinar el conjunto de todos los vectores solución del siguiente
sistema de ecuaciones lineales,
5
x − 2z + w =
3x + y − 5z =
8
x + 2y − 5w = −9.
Solución.
1) La matriz aumentada del sistema
1
B=
3
1
es;
0 −2
1
5
1 −5
0
8 .
2
0 −5 −9
2) Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz B se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
1 0 −2
1
5
1 −3 −7 .
B= 0 1
0 0
0
0
0
Por lo tanto, el sistema correspondiente a está matriz escalonada reducida es;
(
x − 2z + w = 5
y + z − 3w = −7.
Dado que z y w son incógnitas libres. Entonces despejamos x e y para obtener;
x = 2z − w + 5 e y = 3w − z − 7.
Tomemos, z = t y w = p con t, p ∈ F. Se obtiene la solución general;
x = 2t − p + 5 e y = 3p − t − 7.
Luego, el vector solución correspondiente al sistema AX = B es de la forma,