3. Espacios vectoriales
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Por lo tanto, el sistema correspondiente a está matriz escalonada reducida es;
(
x1 − 2x3 + x4 = 0
x2 + x3 − 3x4 = 0.
Dado que x3 y x4 son incógnitas libres. Entonces despejamos x1 y x2 para obtener;
x1 = 2x3 − x4 y x2 = 3x4 − x3 .
Tomemos, x3 = t y x4 = p con t, p ∈ F. Se obtiene la solución general;
x1 = 2t − p y x2 = 3p − t.
Esto significa que el espacio solución AX = 0 consta de todos los vectores X ∈ Fn1 de
la forma,
x1
2t − p
2
−1
x2 3p − t
−1
3
X=
x3 = t = t · 1 + p · 0 .
1
x4
p
0
Por lo tanto, los vectores
2
−1
−1
3
u1 =
1 y u2 = 0
0
1
forman una base para el espacio solución del sistema AX = 0.
Note que, la dimensión del espacio solución del sistema AX = 0 es igual a 2. Por lo
tanto, nul(A) = 2.
Ahora, se sabe que el conjunto de todos los vectores solución del sistema homogéneo
AX = 0 es un subespacio.
¿También es cierto lo anterior para el conjunto de todos los vectores solución del
sistema no homogéneo AX = B?
Solución. La repuesta es no porque el vector cero nunca es solución de un sistema
no homogéneo. Sin embargo, hay una relación entre el conjunto de soluciones de los
sistemas AX = 0 y AX = B.
Teorema 3.9 Si Xp es una solución particular del sistema no homogéneo AX = B,
entonces toda solución de este sistema puede escribirse en la forma Xt = Xp + Xh ,
donde Xh es una solución del sistema homogéneo AX = 0.