3.5. El rango y nulidad de una matriz
155
Prueba. Sean X, X1 ∈ S y α ∈ F. Queremos probar que X + X1 ∈ S y α · X ∈ S.
Como X, X1 ∈ S, entonces AX = 0 y AX1 = 0.
A(X + X1 ) = AX + AX1 (Por el teorema 1.3(2))
= 0+0
(Por hipótesis)
= 0.
(Por el teorema 1.2(3))
Así X + X1 ∈ S.
Por otro lado,
A(α · X) = α(AX) (Por el teorema 1.3(4))
= α·0
(Por hipótesis)
= 0.
Se tiene que α · X ∈ S. En conclusión, S es un subespacio de Fn1 .
Obsevación 3.2 El espacio solución de AX = 0 también se denomina espacio nulo
de la matriz A. Además la dimensión del espacio solución de AX = 0 se le llama
nulidad de A, y se denota nul(A).
Ejemplo 3.19 Determine una base de el espacio solución del sistema AX = 0, para
la siguiente matriz
1 0 −2
1
A = 3 1 −5
0 .
1 2
0 −5
Solución.
1) La matriz aumentada del sistema es;
1 0 −2
1 0
0 0 .
B = 3 1 −5
1 2
0 −5 0
2) Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz B se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
1 0 −2
1 0
1 −3 0 .
B= 0 1
0 0
0
0 0