154 3. Espacios vectoriales
Luego, por el teorema 3.6 se tiene el vector fila de B diferentes de cero,( u 1 = 1, − 1 2, 3) 2, 0
forma una base del espacio fila de A. Por lo tanto, rang( A) = 1. b) Consideremos el ejemplo 3.17( a). Determinar el rango de la matriz A.
Solución. Como la dimensión del espacio fila y columna de A es 3. Por lo tanto rang( A) = 3.
Los conceptos de espacios, fila, columna y rango algunas veces tienen aplicaciones interesante a sistemas de ecuaciones lineales. Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es decir
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +···+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +···+ a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +···+ a 3n x n = b 3
a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +···+ a mn x n = b m. El sistema de ecuaciones se puede representar en notación matricial AX = B, esto es
Consideremos los conjuntos ⎧⎛
⎞ x 1
⎛ ⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞ a 11 a 12 a 13 ··· a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 ··· a 2n x 2 b 2 a 31 a 32 a 33 ··· a 3n x 3
= b 3. ⎜ ⎝
......
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. ⎠⎝
. ⎠ ⎝. ⎠ a m1 a m2 a m3 ··· a mn x n b m
⎫ ⎧⎛
⎪⎨ x 2
⎪⎬ ⎪⎨ y2
⎪⎬
F n 1 = x 3
: x ⎜ ⎟ 1, x 2,···, x n ∈ F y F m 1 = y 3
: y ⎜ ⎟ 1, y 2,···, y m ∈ F.
⎝. ⎠ ⎝. ⎠
⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩
⎪⎭ x n y m
Se tiene que( F n 1, F,+,·) y( Fm 1, F,+,·) son espacios vectoriales.
Teorema 3.8 Sea A ∈ M m × n( F). Entonces el subconjunto S = { X ∈ F n 1: AX = 0 } es un subespacio del espacio vectorial( F n 1, F,+,·). Este subespacio se denomina espacio solución del sistema. y 1
⎞
.
⎫