3.5. El rango y nulidad de una matriz
153
forman una base para el espacio fila de A. Por lo tanto la dimensión del espacio fila es
3. Además, por el ejemplo 3.16(b), se tiene que los vectores
u1 = (1, 0, 0, 0, −1) , u2 = (0, 1, 0, 4, 3) , u3 = (0, 0, 1, −1, −1)
forman una base para el espacio columna de A. Por lo tanto, la dimensión del espacio
columma es 3. Observe que la dimensión del espacio fila es igual a la dimensión del
espacio columna de A.
b) Encuentre la dimensión del espacio fila y espacio columna de la matriz
i −1 2
2
A = −1
i 0 −3 .
1 −2i 2
1
Solución. Por el ejemplo 3.16 (a), se tiene que los vectores
11 2
6 11
13 11
− i , u2 = 0, 1, 0, − + i , u3 = 0, 0, 1, − − i
u1 = 1, 0, 0,
5
5
5
5
5 10
forman una base para el espacio fila de A. Por lo tanto la dimensión del espacio fila es
3. Luego por el teorema 3.7, tenemos que la dimensión del espacio columna de A es 3.
3.5.
El rango y nulidad de una matriz
En esta sección seguiremos estudiando el espacio vectorial generado por los vectores
filas (o vectores columnas) de una matriz y relacionar estos espacios con las soluciones
de los sistemas de ecuaciones lineales.
Definición 3.9 La dimensión del espacio fila (o columna) de una matriz A se le llama
rango de A y se denota por rang(A).
Ejemplo 3.18
a) Determinar el rango de la matriz
2i −i 3i 0
A=
.
2 −1 3 0
Solución. Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz A se puede escribir
en forma escalonada reducida como se muestra a continuación
1 3
1 −
0
.
2 2
B=
0
0 0 0