3. Espacios vectoriales
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c) Sea (R3 , R, +, ·) un espacio vectorial. Encontrar una base para el subespacio S5 =
gen({(−1, 2, 5), (3, 0, 3), (5, 1, 8)}) de R3 .
Solución. Consideremos los elementos de S5 para formar las filas de la matriz A.
Luego, A se escribe en forma escalonada reducida. Es decir,
−1 2 5
A = 3 0 3 .
5 1 8
Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz A se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
1 0 1
B = 0 1 3 .
0 0 0
Así, por el teorema 3.6 se tiene que los vectores fila de B diferentes de cero,
u1 = (1, 0, 1) , u2 = (0, 1, 3) .
forma una base del espacio fila de A, es decir, forma una base para S5 .
Como se puede observar en el ejemplo 3.16 (a) y (b) tenemos que el número de elementos de la base de espacio fila y columna de la matriz A coincide por lo cual se presenta
el siguiente teorema.
Teorema 3.7 Si A ∈ Mm×n (F), entonces el espacio fila y el espacio columna de A
tienen la misma dimensión.
La demostración de este teorema se deja como actividad para los estudiantes.
Ejemplo 3.17
a) Encuentre la dimensión del espacio fila y espacio columna de la matriz
A=
1
0
−3
3
2
3
1
3
1
2
0
0
7 −1
.
4
1
1
0 −2 −2
Solución. Por el ejemplo 3.16(b), se tiene que los vectores
u1 = (1, 0, 0, −2) , u2 = (0, 1, 0, 2) , u3 = (0, 0, 1, −1)