3.4. Dimensión
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Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz A se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
B=
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 −2
0
2
1 −1
.
0
0
0
0
Luego, por el teorema 3.6 se t iene los vectores fila de B diferentes de cero,
u1 = (1, 0, 0, −2) , u2 = (0, 1, 0, 2) , u3 = (0, 0, 1, −1)
forma una base del espacio fila de A, es decir, es una base para S3 .
Además,
S3 = gen({u1 , u2 , u3 }).
Se deja como actividad al lector verificar que lo anterior es cierto.
Ahora queremos encontrar una base para el espacio columna de la matriz A, es decir,
una base para el subespacio
S4 = gen({(1, 0, −3, 3, 2), (3, 1, 0, 4, 0), (1, 2, 7, 1, −2), (3, 0, −1, 1, −2)}).
Consideremos la transpuesta de la matriz A, y luego aplicar las operaciones elementales
entre filas para escribir A⊤ en forma escalonada reducida
1
3
A⊤ =
1
3
0 −3 3
2
1
0 4
0
.
2
7 1 −2
0 −1 1 −2
Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz A⊤ se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
1
0
C=
0
0
0
1
0
0
0
0 −1
0
4
3
.
1 −1 −1
0
0
0
Luego, por el teorema 3.6 se tiene los vectores fila de C diferentes de cero,
u1 = (1, 0, 0, 0, −1) , u2 = (0, 1, 0, 4, 3) , u3 = (0, 0, 1, −1, −1)
forma una base del espacio columnas de A, es decir, es una base para S4 .